Signaalinkäsittelytekniikan laboratorio
Digitaalitekniikan perusteet - luento 2
Tietokone on laajasti käytetty apuväline yhteiskunnan eri aloilla. Sen vahvuus on monikäyttöisyys.
(Samalla fyysisellä laitteella pystytään suorittamaan eri tyyppisiä tehtäviä, laitetta voidaan
myös jatkuvasti päivittämään.) Toisaalta suuri osa tietokoneista on erikoistunut suorittamaan tietyn tyyppisiä
tehtäviä. Tietokone on siis digitaalilaite. Sen toiminnan pääpiirteet (huomattavan
yksinkertaistetusti) esitetään alla:
Tietokoneen ydin on integroitu piirielementti, jota kutsutaan prosessoriksi. Nykyään prosessorit ovat erittäin monimutkaisia ja sisältävät miljoonia transistoreita. Prosessori suorittaa kaikki koneen toiminnot, jotka ovat kaikki käytännössä erilaisia laskuja, hyppyjä tai muistihakuja. Sen toiminnan määräävät ohjelmat. Prosessori jakaantuu neljään toiminnalliseen yksikköön:
Prosessorin lisäksi tietokone sisältää lisää muistia, joka voidaan jakaa kahteen luokkaan:
Kaikki muut tietokoneen yksiköt (prosessorin ja muistin lisäksi) voidaan laskea syöttö-
tai tulostuslaitteistoon. (I/O Devices, Input/Output). Näitä ovat esim. näyttö, näppäimistö,
hiiri, erilaiset lisäkortit, tulostin jne.. Kiintolevy voidaan luokitella sekä I/O-välineeksi
että osaksi muistia. Syöttö- ja tulostuslaitteisto on kommunikointirajapinta ulkomaailman kanssa.
(Kansankielellä sanotaan, että kone ottaa tietoja syöttölaitteen välityksellä ja antaa palautteen
tulostuslaitteen kautta. Yleisesti digitaalilaitteessa yhteys ulkomaailmaan hoidetaan otto- ja
antopiirien kautta.)
Tietokoneen eri osia yhdistää väylä (Bus). Väylää pitkin siirretään tiedot yksiköltä toiselle.
Tässä on yksi vaihtoehto, jolla tietokonetta voidaan kuvata. Kannattaa muistaa, että kuva ei ole missään suhteessa kattava tai edes ylimalkainen. Lähinnä pyrimme esittelemään yhden hyvin yksinkertaisen mahdollisuuden jakaa kone toiminnallisiin kokonaisuuksiin. (Lukija voi halutessaan piirrellä kotonaan yksityiskohtaisemman kaaviokuvan.)
|
![]() |
Lisää tietokoneen rakenteesta ja toimintamalleista kerrotaan tietotekniikan osaston kurssilla Tietokoneen arkkitehtuuri.
Nykyinen kymmenjärjestelmämme on perua hedelmällisen puolikuun alueelta ja se on syntynyt jonkin
verran ennen ajanlaskumme alkua. Kymmenjärjestelmä perustuu nimensä mukaisesti luvun kymmenen
eri potensseihin. Käytetyt numeroarvot ovat 0,1,2,3,4,5,6,7, 8, 9.
Kymmenjärjestelmä voidaan tulkita muodossa:
, missä ai on jokin kerroin välitä [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
Esimerkiksi luku 3025 tarkoittaa oikeastaan lauseketta 3 × 103 + 0 × 102 + 2 × 101 + 5 × 100.
Toisena esimerkkinä luku 1978, joka tarkoittaa samaa kuin lauseke 1 × 103 + 9 ×
102 + 7 × 101 + 8 × 100.
Eli ensin tuhannet, sitten sadat, kymmenet ja lopuksi ykköset.
Edellä kuvatun ymmärtäminen on tärkeää, jotta voidaan laskea yhteyksiä lukujärjestelmistä
toisiin. 10 (eli desimaali) -järjestelmä ei ole läheskään ainoa mahdollinen. Muita paljon
käytettyjä ovat erityisesti digitaalilogiikassa käytetty 2-kantajärjestelmä (binääri),
8-kantajärjestelmä (oktaali) ja 16-kantajärjestelmä (heksadesimaali).
Alla olevasta taulukosta nähdään eri lukujärjestelmien vastaavuuksia:
Heksadesimaali | Desimaali | Oktaali | Binääri |
---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 2 | 2 | 10 |
3 | 3 | 3 | 11 |
4 | 4 | 4 | 100 |
5 | 5 | 5 | 101 |
6 | 6 | 6 | 110 |
7 | 7 | 7 | 111 |
8 | 8 | 10 | 1000 |
9 | 9 | 11 | 1001 |
A | 10 | 12 | 1010 |
B | 11 | 13 | 1011 |
C | 12 | 14 | 1100 |
D | 13 | 15 | 1101 |
E | 14 | 16 | 1110 |
F | 15 | 17 | 1111 |
Taulukosta nähdään, että numeroita minimoidakseen kannattaa käyttää mahdollisimman
suurikantaista järjestelmää: siinä missä heksadesimaalijärjestelmässä selvitään yhdellä
numerolla joudutaan binäärijärjestelmässä pahimmillaan käyttämään neljää numeroa ilmaisemaan
samaa lukua. Binäärijärjestelmän laskutoimitukset ovat kuitenkin niin yksinkertaisia, että
se on monissa tilanteissa kannattavin vaihtoehto.
Ihmiselle luontevin näyttää olevan desimaalijärjestelmä. Laitteissa taas tarkoituksesta
riippuen yleensä kannattaa käyttää jotain muuta järjestelmää. (Lähes aina binäärijärjestelmää
tai sen monikertaa oktaali- tai heksadesimaalijärjestelmää.) Silloin tulostus- ja syöttölaitteita varten tarvitaan muunnoksia
lukujärjestelmästä toiseen.
Hyvän digitaalisuunnittelijan tulisi osata perusteellisesti binääri-, oktaali- ja heksadesimaalijärjestelmien
väliset suhteet. Samoin tulisi osata nopeasti ratkaista, mitä tietty kymmenjärjestelmän luku on näissä kolmessa
järjestelmässä. Lukujärjestelmämuunnoksia esitellään tarkemmin seuraavilla sivuilla.
Lukujärjestelmästä toiseen siirtyminen vaatii laskemista. Jos otetaan perusjärjestelmäksi tuttu desimaalijärjestelmä, muista siihen siirtyminen on helppoa. Lausekemuotoinen määrittely mille tahansa järjestelmälle suhteessa kymmenjärjestelmään voitaisiin ilmaista vaikka seuraavasti:
Luku = Summai ( kerroini × kantalukui )
Kun siirrytään jostain muusta järjestelmästä kymmenjärjestelmään, voidaan soveltaa kaavaa
suoraan.
Esim. luku (2634)7 (eli luku 2634 7-kantajärjestelmässä) voidaan laskea suoraan
auki seuraavasti:
(2634)7 = 2 × 73 + 6 × 72 + 3 ×
71 + 4 × 70
= 686 + 294 + 21 + 4 = (1005)10
Tässä kantaluku on tietystikin 7, sillä muunnettavaluku on 7-kantajärjestelmässä.
Kaavassa potenssit tulevat sen mukaan millä kohtaa kyseinen numero on alkuperäisessä luvussa (2634)7 eli tuhannet saavat potenssiluvun 3, sadat saavat potenssiluvun 2 jne.
Kun halutaan siirtää luku (n) toiseen suuntaan, etsitään suurinta halutun kantaluvun (k) potenssia (i), joka 'mahtuu' siirrettävään lukuun. (Eli n ÷ ki yhtäsuuri tai suurempi kuin 1) Kun suurin mahdollinen potenssi löydetään, suoritetaan jakolasku N ÷ ki ja siirrytään tarkastelemaan mahdollista jakojäännöstä.
Eli:
Muunnetaan luku (3718)10 7-kantajärjestelmään.
Muunnetaan luku (1241)10 5-kantajärjestelmään.
Huom: Ylläolevat periaatteet soveltuvat etumerkki-itseisarvomuotoisten
(=jo peruskoulussa opittu 'tavallinen' tapa esittää positiivisia ja negatiivisia lukuja)
kokonaislukujen muuntamiseen järjestelmästä toiseen. Oma lukunsa on desimaalilukujen tai
komplementoitujen (toinen tapa esittää etumerkillisiä lukuja) lukujen muuntaminen.
Digitaalilogiikassa yleisimmin käytetään binääri- eli kaksikantajärjestelmää. Järjestelmän
pienin erillinen yksikkö on bitti. Bitillä voi olla kaksi arvoa, 1 tai 0. Binäärilukujen
vahvuuksia ovat laskutoimitusten yksinkertaisuudet ja lukujen fysikaalisen esittämisen
helppous. (On vain kaksi numeroa.) Heikkouksia ovat lukujen pituudet, epähavainnollisuus
ja laskutoimituksien suuri määrä. Digitaalilaitteissa binäärilukuja säilytetään rekistereissä.
Luvun esittämiseen on käytössä tietty vakiomäärä tai sen monikerta bittejä. Esimerkiksi
8, 16 tai 32.
Esimerkki 2-kantajärjestelmän luvusta: 0110102 = 1 × 2 4 + 1
× 2 3 + 1 × 2 1 = 26 10.
2. Esimerkki 2-kantajärjestelmän luvusta: 1010012 = 1 × 2 5 + 1
× 2 3 + 1 × 2 0 = 41 10.
Ylläolevan esimerkin lukua sanotaan kiinteän pilkun luvuksi. Kiinteän pilkun luvut ovat aina kokonaislukuja. Ne voivat olla joko positiivisia lukuja, jolloin luku tulkitaan sellaisenaan tai etumerkillisiä. Tällöin luvun eniten merkitsevä bitti on merkkibitti. Yleensä 1 tarkoittaa miinusta ja 0 plussaa.
Etumerkillisillä luvuilla on erilaisia esitystapoja:
Alla olevasta taulukosta binääriluvun esittäminen eri esitystavoissa:
Desimaali luku | Etumerkki -itseisarvo | 1:n komplementti | 2:n komplementti |
---|---|---|---|
+7 | 0111 | 0111 | 0111 |
+6 | 0110 | 0110 | 0110 |
+5 | 0101 | 0101 | 0101 |
+4 | 0100 | 0100 | 0100 |
+3 | 0011 | 0011 | 0011 |
+2 | 0010 | 0010 | 0010 |
+1 | 0001 | 0001 | 0001 |
+0 | 0000 | 0000 | 0000 |
-0 | 1000 | 1111 | -- |
-1 | 1001 | 1110 | 1111 |
-2 | 1010 | 1101 | 1110 |
-3 | 1011 | 1100 | 1101 |
-4 | 1100 | 1011 | 1100 |
-5 | 1101 | 1010 | 1011 |
-6 | 1110 | 1001 | 1010 |
-7 | 1111 | 1000 | 1001 |
-8 | -- | -- | 1000 |
Kiinteän pilkun luvut ovat siis aina kokonaislukuja. Desimaalilukujen sekä hyvin suurten tai hyvin pienten
lukujen esittämiseen käytetään liukuvan pilkun lukuja. Liukuvan pilkun luku jakaantuu kolmeen osaan: merkkibittiin,
eksponenttiin ja mantissaan.
Esim seuraavasti (kyseessä on 32-bittinen liukuvan pilkun luku):
s | e | e | e | e | e | e | e | e | f | f | f | f | f | f | f | f | f | f | f | f | f | f | f | f | f | f | f | f | f | f | f |
s = merkkibitti (aina 1 kpl)
e = eksponentin bitit (tässä tapauksessa 8 kpl)
f = mantissan bitit (tässä tapauksessa 23 kpl)
On siis sovittu, että kyseisessä bittijonossa ensimmäinen bitti kertoo luvun etumerkin. Siitä tietty määrä seuraavia bittejä
ilmaisee luvun kantaluvun eksponentin arvon. Loput bitit tulkitaan mantissana. Liukuluvuista on olemassa muutama eri standardi.
Tässä materiaalissa esitetään niistä yksi. Liukuluvun laskentakaava on esitetty alla:
Luku = (-1)s × 2e × 1.f
(Liukuluvuista lisää myöhemmin.)
Yleisesti missä tahansa lukujärjestelmässä (kantaluku r), on kaksi erityyppistä komplementtia: kantaluvun komplementti (radix complement) ja kantaluvun heikennetty komplementti (diminished radix complement). Näistä edellistä kutsutaan r:n (eli kantaluvun) komplementiksi ja jälkimmäistä (r -1 ):n komplementiksi. Nämä komplementit binäärijärjestelmän tapauksessa ovat siis 2:n komplementti ja 1:n komplementti, sillä binäärijärjestelmän kantalukuhan on 2.
Komplementtia tarvitaan digitaalijärjestelmissä kuvaamaan negatiivisia ja positiivisia lukuja. Komplementointi on eräänlaista lukualueen peilaamista tietyn peilauskohdan suhteen. Kyseessä on taas sopimus: on sovittu, että tiettyä rajapyykkiä itseisarvoltaan suuremmat binäärisarjat tulkitaan negatiivisina ja tätä samaa rajapyykkiä pienemmät positiivisina. Rajapyykki sijoitetaan mahdollisimman tarkasti lukualueen puoliväliin. Käytäntö on, että jos komplementtiluvun eniten merkitsevä bitti on 0, luku on positiivinen. Jos komplementtiluvun eniten merkitsevä bitti on 1, on luku negatiivinen.
Jos luku on positiivinen, se tulkitaan
normaalisti sijoittamalla lausekkeeseen tarvittavat kakkosen kantaluvut, kuten on aiemminkin jo tehty.
(Esim 0101 = 1 × 2 2
+ 1 × 2 0 = 4 + 1 = 5).
Jos luku on negatiivinen, täytyy tehdä
peilausoperaatio. Peilauksessa (riippuen komplementin tyypistä) suhteutetaan loput bittisarjan bitit ensimmäiseen lukuun.
Esimerkiksi luku 10101. Eniten merkitsevä bitti on 1, joten luvun muut bitit peilataan sen suhteen.2-komplementin tapauksessa peilaus tapahtuu näin: 10101 = -16 + 4 + 1 = -11.
(Jos komplementin idea ei heti aukea, ei kannata masentua. Normaalielämässä riittää pitkälle, jos muistaa, että komplementointi
tarkoittaa lukualueen peilausta. Digitaalisuunnittelussa työkalut yleensä huolehtivat komplementoinnista.
Siihen törmätään vain erityisen haastavissa tapauksissa tai ongelmatilanteissa. Tentissä tosin asiaa kysytään usein jonkin verran.)
1-komplementti
Olkoon B positiivinen kokonaisluku, jonka suuruusosan esityspituus on n bittiä.
Tällöin B:n 1:n komplementti on
C1,n (B) = 2n - 1 - B
1-komplementin muuntaminen desimaalimuotoon kannattaa tehdä siten, että muunnetaan luku ensin
2-komplementtiin. Komplementtien välillä vallitsee yhteys:
C2,n(B) = C1,n(B) + 1
2-komplementti
Olkoon B positiivinen kokonaisluku, jonka suuruusosan esityspituus on n bittiä.
Tällöin B:n 2:n komplementti on
C2,n(B) = 2n - B
Käytännössä helppona nyrkkisääntönä voidaan muistaa seuraavaa: Jos luku on positiivinen,
se tulkitaan normaalisti. Tällöin muunnos 10-järjestelmään tapahtuu aivan samalla tavalla kuin on aiemmin esitetty.
Jos luku on negatiivinen, tulkitaan luvun eniten merkitsevä bitti
(merkkibitti) aivan kuin se olisi tavallinen kerroin, mutta negatiivisena. Tämän jälkeen tulkitaan
muut kertoimet positiivisina.
Esimerkki 1
Luku 1001102 (luku on siis 2-komplementtimuodossa, merkkibitti on 1 eli luku on negatiivinen) tulkitaan seuraavasti:
1001102 = -1 × 25 + 1 × 22 + 1 × 21 = -3210 + 410 + 210 = -2610
Esimerkki 2
Luku 1011012 (luku on siis 2-komplementtimuodossa, merkkibitti on 1 eli luku on negatiivinen) tulkitaan seuraavasti:
1011012 = -1 × 25 + 1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 20 = -3210 + 810 + 410 + 110= -1910
Esimerkki 3
Luku 0110012 (luku on siis 2-komplementtimuodossa, merkkibitti on 0 eli luku on positiivinen) tulkitaan seuraavasti:
0110012 = 1 × 24 + 1 × 23 + 1 × 20 = 1610 + 810 + 110 = 2510
Binääriluvun komplementin muodostaminen
1-komplementti on helppo muodostaa:
Kaavaa ( C1,n (B) = 2n - 1 - B ) tulkittaessa huomataan, että 1-komplementin
luvusta saa suoraan kääntämällä kaikki bitit nurin (eli ykkösestä tulee nolla, nollasta ykkönen).
Jos luku on lyhyempi kuin käytetty bittien määrä, lisätään alkuun lisää nollia ja käännetään ne
muunnoksessa ykkösiksi. Eli esim. jos on valittu 4 bittinen esitys tapa ja käsiteltävä luku on 510 = 1012. Nyt pitää lisätä yksi nolla luvun alkuun jolloin luvuksi tulee 01012
HUOM ! Mikäli luku on aluksi itseisarvo-etumerkki muodossa, jätetään etumerkki rauhaan. Siis etumerkkiä ei käännetä edellisen ohjeen mukaisesti vaan se pysyy samana.
Esimerkki 1
Suuruusosan esityspituus 7 bittiä, luku B=11001 (=2510)Tuloksen voi tarkistaa muuntamalla sen edelleen 2-komplementiksi ja sitä kautta kymmenjärjestelmään:
- Lisätään tarvittavat nollat: B=0011001
- Käännetään bitit: C1,7(B) = 1100110, mikä on haluttu tulos
2-komplementiksi eli lisätään 1: C2,7(B)=1100111=
Muuntaminen 2-komplementista 10-järjestelmään tehdään kuten on esitetty edellä:
C2,7(B)=1100111= -26 + 25 + 22 + 21 + 20 = -2510
Esimerkki 2
0110011 Suuruusosan esityspituus 7 bittiä, luku B=1001101 (=7710)Tuloksen voi tarkistaa muuntamalla sen edelleen 2-komplementiksi ja sitä kautta kymmenjärjestelmään:
- Nyt ei tarvitse lisätä numeroita luvun eteen, sillä sen pituus on jo 7 bittiä.
- Käännetään bitit: C1,7(B) = 0110010, mikä on haluttu tulos
2-komplementiksi eli lisätään 1: C2,7(B)=0110011.
HUOM ! Tämä vaikuttaisi olevan positiivinen luku, mutta sehän ei voi olla sitä, koska
edellä suoritimme komplementtia muodostaessamme peilauksen. Tämän takia tulee nyt lisätä yksi ykkönen koko luvun eteen, jotta tulos olis negatiivinen kuten pitääkin.
C2,7(B)=10110011= -27 + 25 + 24 + 21 + 20= -7710
Esimerkki 3
Suuruusosan esityspituus 7 bittiä, luku (itseisarvo-etumerkki muodossa) B=10011010 (=-2610). Ensimmäinen bitti kertoo etumerkin (1 = -)ja sitten tulee luvun suuruusosa (7 bittiä).Tuloksen voi tarkistaa muuntamalla sen edelleen 2-komplementiksi ja sitä kautta kymmenjärjestelmään:
- Nyt ei kosketa lainkaan etumerkkiin. Lisäksi huomataan, että suuruusosa on jo 7 bittiä pitkä, joten ei tarvetta toimenpiteisiin.
- Käännetään bitit: C1,7(B) = 11100101, mikä on haluttu tulos
2-komplementiksi eli lisätään 1: C2,7(B)=11100110= -27 + 26 + + 25 + 22 + 21 = -2610
Esimerkki 4
Suuruusosan esityspituus 7 bittiä, luku (itseisarvo-etumerkki muotoinen) B=11001 (=-910). Ensimmäinen bitti kertoo etumerkin ( 1 = -)ja sitten tulee luvun suuruusosa (4 bittiä).Tuloksen voi tarkistaa muuntamalla sen edelleen 2-komplementiksi ja sitä kautta kymmenjärjestelmään:
- Nyt ei taaskaan kosketa lainkaan etumerkkiin. Huomataan kuitenkin, että suuruusosa on vain 4 bittiä pitkä, joten siihen lisätään nollia. Näin saadaan:
B=10001001, missä lisätyt nollat on lihavoitu.- Lopuksi käännetään bitit: C1,7(B) = 11110110, mikä on haluttu tulos
2-komplementiksi eli lisätään 1: C2,7(B)=11110111= -27 + 26 + 25 + 24 + 22 + 21 + 20 = -910
Esimerkki 5
Suuruusosan esityspituus 7 bittiä, luku (itseisarvo-etumerkki muotoinen) B=01100 (=1210). Ensimmäinen bitti kertoo etumerkin (0 = +)ja sitten tulee luvun suuruusosa (4 bittiä).Tuloksen voi tarkistaa muuntamalla sen edelleen 2-komplementiksi ja sitä kautta kymmenjärjestelmään:
- Nyt ei taaskaan kosketa lainkaan etumerkkiin. Huomataan kuitenkin, että suuruusosa on vain 4 bittiä pitkä, joten siihen lisätään nollia. Näin saadaan:
B=00001100, missä lisätyt nollat on lihavoitu.- Lopuksi käännetään bitit: C1,7(B) = 00001100, mikä on haluttu tulos
HUOM! Tässä oli siis positiivisen luvun muuntaminen 1-komplementtiin. Tarkkasilmäisimmät voivat huomata, että luku ei muuttunut lainkaan (mitä nyt nollia tuli lisää..) Jos tämä tuntuu hämärältä ks. selitystä aiemmin komplementin johdannon kohdalta.
Muuntaminen 2-komplementiksi on helppoa positiivisen luvun tapauksessa. Ei tehdä mitään muutoksia eli: C2,7(B)=00001100= 23 + 22 = 1210
2-komplementti muodostetaan joko 1-komplementin kautta lisäämällä siihen 1 (kuten edellisen esimerkin tarkistusosassa) tai suoraan seuraavalla algoritmillä:
Esimerkki
Suuruusosan esityspituus 7 bittiä, luku B=10100= 0010100 ( = 10 10 ) C2,7(B)=1101100 ( = -10 10 )
C2,n(C2,n(B))= 2n - (2n - B) = B
C1,n(C1,n(B))= 2n - 1 - (2n - 1 - B) = B
Komplementoimalla komplementti saadaan siis alkuperäinen luku uudelleen.
Pari esimerkkimuunnosta
Etumerkki-itseisarvoinen luku | 1:n komplementti | 2:n komplementti | |
---|---|---|---|
A | 01100011 | 01100011 | 01100011 |
B | 10110010 | 11001101 | 11001110 |
Komplementti voidaan ottaa myös muissa lukujärjestelmissä kuin binäärijärjestelmässä. Tässä on esitetty esimerkinomaisesti miten
tapahtuu muuntaminen muissa lukujärjestelmissä. Mikäli etumerkki sisältyy ensimmäiseen lukuun, se on komplementtimuodossa.
Esimerkki 1
Luku +378 (=3110) on itseisarvo-etumerkki muodossa.Tuloksen voi tarkistaa muuntamalla sen takaisin 10-järjestelmään:
- Muistetaan, että komplementoitaessa positiivista lukua ei luvulle tapahdu mitään. Näin ollen:
+378 komplementoituna on 378
378 = 3 × 81 + 7 × 80 = 24 + 7 = 3110
Esimerkki 2
Luku -214 (=-910) on itseisarvo-etumerkki muodossa.Hieman lisäselvitystä
- Nyt negatiivisen luvun komplementoinnissa on syytä olla tarkkana !
- Ensinnäkin huomataan, että suurin mahdollinen luku 4-järjestelmässä kahdella numerolla esitettynä on 334. Tämä vastaa lukua -110 komplementoinnin takia.
Kun luvun ensimmäinen numero on 0 tai 1 = (+) on kyseessä positiivinen luku ja kun ensimmäinen numero on 2 tai 3 = (-), on kyseessä negatiivinen luku. Näin ollen:
Nyt tiedetään, että tulokseksi on tulossa negatiivinen luku ts. komplementoidun luvun ensimmäinen numero on 2 tai 3
Lasketaan 334-214+14 = 134 Tämä on väärin! Ensimmäinen numero osoittaisi luvun olevan positiivinen, mitä se ei ole!!
Tarvitsemme siis esitystä kolmella numerolla jolloin luku 3334 = -110
Lasketaan 3334-214+14 = 3134
Tämä on haluttu vastaus.
Tuloksen voi tarkistaa muuntamalla sen takaisin 10-järjestelmään:
- Suurin luku 4-järjestelmässä on kahdella numerolla 33 tai kolmella 333. Vastaavasti 9-järjestelmässä 88 tai 888.
Tämä suurin luku vastaa lukua -110, mikäli ei olla itseisarvo-etumerkki-esityksessä. (Tällöinhän luvun etumerkin ilmoittaa suoraan + tai -)- Pienin negatiivinen luku olisi esimerkin tapauksessa 2004 = -3210
- Se miksi laskutoimituksissa on mukana +1 johtuu siitä, että aloitamme vähennyslaskun laskemisen luvusta -110, emmekä luvusta 010
Toisin sanoen, mikäli emme lisäisi lukua +1, olisi edellinen muunnos ollut luvusta -224
- Luku +1 voidaan myös jättää lisäämättä, mutta silloin täytyy muistaa tietenkin vähentää vain -204 (Esimerkkimme tapauksessa)
-(3334-3134+14) = -(21)4 = -(2 × 41 + 1 × 40) = - (8 + 1) = -910
Esimerkki 3
Muunnettava luku 1A11 takaisin 10-järjestelmään.Hieman lisäselvitystä
- Luvussa ei näy etumerkkiä, joten tulkitaan se positiiviseksi luvuksi ensimmäisen numeron perusteella.(0-->5 = + ja 6-->A = -)
- Nyt muuntaminen käy helposti, koska luku on positiivinen. Muunnetaan se aivan normaalisti (Komplementtiesityksessähän positiiviset luvut säilyvät muuttumattomina)
- 1 × 111 + 10 × 110 = (11 + 10) = 2110
- Luku A11 vastaa lukua 1010. Muita kirjaimia kuin A ? ---> Ks. taulukko aiemmin, jossa oli esitelty mm. heksadesimaaliluvut, oktaaliluvut ja desimaaliluvut. Taulukon löydät lukujärjestelmä osion alusta.
Esimerkki 4
Muunnettava 9-järjestelmän 9-komplementin luku 829 takaisin 10-järjestelmään.Hieman lisäselvitystä
- Luku on negatiivinen ensimmäisen numeron perusteella (0-->4 = + ja 5-->8 = -)
- Nyt mietitään mikä on suurin mahdollinen luku (kahdella numerolla, koska tehtävänantokin oli kahdella numerolla) 9-järjestelmässä.
- Suurin mahdollinen luku on 889 = -110
- Nyt tehdään laskutoimitus: 889 - 829 = 69
69 + 19 = 79
- Lopuksi muunnetaan 79 10-järjestelmään kuten on aiemmin opittu ja muistetaan vielä, että käsitellään negatiivista lukua. Tulokseksi saadaan : -710
- Miksi laskutoimituksessa lisätään yksi "ylimääräinen" ykkönen?
Tämä tehdään siksi, että jos olisi seuraavanlainen tilanne: Pitäisi muuntaa luku 889 takaisin
10-järjestelmään. Tällöin muunnos 889-889 = 010. Tämä antaisi tulokseksi luvun nolla. Kuitenkin on sovittu, että 889 vastaa lukua -110. Tämän takia vähennetään yksi "ylimääräinen" ykkönen. Tämä tapahtuu laskemalla 09 + 19 = 19 , joka muunnetaan 10-järjestelmään muistaen kuitenkin, että kyse on neg.luvusta 19 ==> -110. Tämä on haluttu (ja oikea) lopputulos
Kiinteän pilkun lukujen laskutoimituksia
Etumerkki-itseisarvomuotoisten binäärilukujen yhteenlasku (ja vähennyslasku)
Algoritmi:
- jos merkkibitit ovat samat
- lasketaan suuruusosat yhteen
- merkkibitti säilyy samana
- jos merkkibitit ovat erilaisia
- vähennetään suuruusosaltaan pienempi suuruusosaltaan suuremmasta
- merkkibitti on sama kuin suuruusosaltaan suuremmalla
Esimerkkejä: (Ensimmäinen bitti on merkkibitti 0='+' 1='-')
A B C D 0110 1001
+ 0001 01101000 1111
+ 0001 01100100 0110
+ 0011 00110010 1100
+ 1000 01100111 1111 0000 0111 0111 1001 0010 0110 OK Merkkibitit
erilaisia!Muista!
01+01=10Merkkibitit
erilaisia!
B-kohdassa merkkibitit ovat erilaisia, joten vähennetään suuruusosaltaan pienempi (ylempi luku) suuruusosaltaan suuremmasta: 2210 - 1510 = 710
Vastaava tapaus myös D-kohdassa: 4410 - 610 = 3810
Jokainen voi itse tarkistaa laskut, esim. muuntamalla ne 10-järjestelmään ja sieltä tulos takaisin binääriseksi.Binäärilukujen yhteenlaskua varten käytetään kokosummain rakennetta, joka tulee kurssilla myöhemmin esille (luennossa 6).
1-komplementtimuotoisten binäärilukujen yhteenlasku
Algoritmi:
- lasketaan luvut merkkibitteineen yhteen
- jos merkkibiteistä muodostuu ylimääräinen summabitti, lisätään se summan vähiten merkitsevään bittiin.
Esimerkkejä:
A B C D 0011 0101
+0010 00101000 1111
+ 0001 01101011 0010
+0111 00011111 0111
+1000 01100101 0111 1010 0101 1 0010 0011
'---------->1
0010 010010111 1101 Muista!
1+1=10Muista!
1+1+1=11OK Ylivuoto A ja B kohdassa bitit on yksinkertaisesti laskettu yhteen.
C-kohdassa ylimääräinen merkkibitti on lisätty vähiten merkitsevään bittiin.
D-kohdassa tapahtuu ylivuoto (merkkibitti on vaihtunut, luku on liian suuri lukualueeseen. Ks. 2-komplementtien yhteenlaskua).2-komplementtimuotoisten binäärilukujen yhteenlasku
Algoritmi:
- lasketaan luvut merkkibitteineen yhteen
- poistetaan tarvittaessa merkkibiteistä muodostunut 'ylimääräinen bitti', niin sanottu ylivuoto
Esimerkkejä:
A B C D 0011 0101
+0010 00101000 1111
+ 0001 01101011 0010
+0111 00011111 0111
+1000 01100101 0111 1010 0101 1 0010 0011
=> 0010 00111 0111 1101
=>0111 1101OK OK Poistetaan
'ylimääräinen'
bittiYlivuoto A ja B kohdassa bitit on yksinkertaisesti laskettu yhteen.
C-kohdassa laskuun tulisi ylimääräinen merkkibitti, mutta sitä ei oteta huomioon vaan tiputetaan pois. (Se siis ei näy lopullisessa tuloksessa.)
D-kohdassa merkkibitti on muuttunut positiiviseksi, vaikka molemmat luvut ovat negatiivisia. Kyseessä on ylivuoto: tulos on itseisarvoltaan liian suuri esitettäväksi 8 bitillä ja näin ollen tulos on siis virheellinen. Tämä on tyypillinen vikatilanne, joka voidaan tavanomaisissa tapauksissa helposti korjata kasvattamalla sanapituutta eli lisäämällä lukujen esittämiseen käytettävien bittien määrää.Komplementtimuotoisten lukujen vähennyslasku
- Tehdään vastaluvun yhteenlaskuna: A - B = A + (-B)
- -B = kompl(B)
Komplementtimuotoisten binäärilukujen vähennyslaskuesimerkkejä
A, B, C ja D ovat 2-komplementtimuotoisia binäärilukuja.
A=01001110
B=00110111
C=11111000
D=10001001
Laske A - B, A - C, A - D ja C - D
Muodostetaan ensin komplementoimalla luvut -B, -C ja -D:
B=00110111 ; -B=11001001
C=11111000 ; -C=00001000
D=10001001 ; -D=01110111
Ja varsinaiset laskut:
A-B A-C A-D C-D 01001110
+1100100101001110
+0000100001001110
+0111011111111000
+0111011100010111 01010110 11000101
1
0010010001101111 OK OK Ylivuoto OK
Liukuvan pilkun luvuista
Liukuvan pilkun lukujen käytön perusteita:
- kiinteän pilkun esityksessä käytössä suppea lukualue. Esim. 7:llä bitillä 0-128.
(Esityspituuden lisääminen epäkannattavaa: yhden bitin lisääminen vain kaksinkertaistaa lukualueen)- Lisäksi jos kiinteän pilkun esityksessä kasvatetaan lukualuetta, kasvattaa se myös esitystarkkuutta, mikä on usein tarpeetonta
- liukuvan pilkun esitystavalla saadaan yleensä riittävän suuria lukuja 32 bitillä
- esityspituuden lisääminen yhdellä bitillä kasvattaa lukualuetta eksponentiaalisesti
Liukuvan pilkun luku vastaa siis desimaalijärjestelmän ilmaisua 10 eksponentteina.
(Esim. 0,5235 × 1012, 2,24 × 10-7, -1.3 × 1030)Liukuvan pilkun luku jakaantuu kolmeen osaan:
Eniten merkitsevä bitti on merkkibitti (sign, s).
Tämän jälkeen seuraa joukko eksponenttibittejä (exponent, e).
Lopuksi tulee mantissa. (fraction, f)
Lisäksi liukulukuun liittyy siirre (bias, b)
Esimerkki IEEE-standardin mukaisesta liukuluvusta:
Luku = (-1)s × 2e-b × 1.f
(mantissa on siis ykköstä pienempi luku, bitit tulkitaan kakkosen negatiivisina potensseina s.e. eniten merkitsevän kerroin on 2-1, seuraavan 2-2 jne..) Muistettavaa:
- Eksponentti esitetään aina siirretyssä eli biasoidussa muodossa. Tässä on kyse siitä, ettei eksponentilla ole omaa merkkibittiä, joten se on periaatteessa aina positiivinen. Koska kuitenkin halutaan pystyä esittämään sekä negatiivisia että positiivisiä eksponentteja, siirretään lukualuetta vasemmalle. Lukualue siirretään siten että sen keskipiste on nollassa (tai sen vieressä, tasan siirto ei mene). (Biasointi tulee esiin 2. laskuharjoituksessa. Ks. Myös esimerkit)
- Mantissa esitetään yleensä itseisarvomuodssa.
- Jollei ole erityistä syytä, luvut esitetään aina normaalimuodossa.
- Tarvittaessa luku skaalataan normaalimuotoon eksponenttia muuttamalla.
- Normaalimuodossa luvulla on suurin mahdollinen esitystarkkuus.
- Mantissa on normaalimuotoinen, mikäli mantissa alkaa ykkösellä.
Esimerkki 1 Tulkitse binääriluku (1001 1000 0101 0100)2 liukuvan pilkun lukuna.
Tässä tehtävässä ensimmäinen bitti on merkkibitti, eksponentti esitetään viidellä bitillä ja loput 10 kuuluvat mantissaan, joten esitys ei ole IEEE-standardin mukainen
Edetään tehtävässä seuraavasti:
Esimerkki 2 Tulkitse binääriluku (0101 1000 0111 1000)2 liukuvan pilkun lukuna.
- Katsotaan ensin mikä on tulevan luvun merkki (onko luku positiivinen vai negatiivinen).
Koska merkkibitti (s) on 1, luku on negatiivinen- Tämän jälkeen tulkitaan eksponentti, eli seuraavat 5 bittiä muutetaan 10-järjestelmään, kuten on opittu aiemmin.
001102 = 610
- Koska halutaan sekä positiiviset, että negatiiviset eksponentit käytämme siirrettä (bias).
Siirteen suuruus on puolet koko lukualueen määrästä, joka eksponentilla voidaan esittää. Tässä tapauksessa eksponentti on 5 bittiä pitkä eli sillä voidaan esittää 25 = 32 erilaista lukua. Siirteen keskipiste on nollan vieressä (koska lukualue ei mene tasan) jolloin voidaan esittää eksponentit välillä -15 --> 16. Ts. siirre on 15- Eksponentin (e) ollessa 610 ja siirteen (b) 1510 on e-b=-910
- Loput 10 bittiä kuuluvat mantissaan ja niiden muuntaminen 10-järjestelmään tapahtuu helposti
00010101002 = 0 × 2-1 + 0 × 2-2 + 0 × 2-3 + 1 × 2-4 + 0 × 2-5 + 1 × 2-6 + 0 × 2-7 + 1 × 2-8 = 0,0625 + 0,015625 + 0,00390625 = 0,08203125
- Lopuksi saamme siis liukuluvuksi: (-1)1 × 26-15 × 1.0820312
= 0,00211334210
Ensimmäinen bitti on merkkibitti, eksponentti esitetään viidellä bitillä ja loput 10 kuuluvat mantissaan
Edetään tehtävässä seuraavasti:
- Katsotaan ensin mikä on tulevan luvun merkki (onko luku positiivinen vai negatiivinen).
Koska merkkibitti (s) on 0, luku on positiivinen- Tämän jälkeen tulkitaan eksponentti, eli seuraavat 5 bittiä muutetaan 10-järjestelmään, kuten on opittu aiemmin.
101102 = 2210
- Koska halutaan sekä positiiviset, että negatiiviset eksponentit käytämme siirrettä (bias).
Siirteen suuruus on puolet koko lukualueen määrästä, joka eksponentilla voidaan esittää. Tässä tapauksessa eksponentti on 5 bittiä pitkä eli sillä voidaan esittää 25 = 32 erilaista lukua. Siirteen keskipiste on nollan vieressä (koska lukualue ei mene tasan) jolloin voidaan esittää eksponentit välillä -15 --> 16. Ts. siirre on 15- Eksponentin (e) ollessa 2210 ja siirteen (b) 1510 on e-b=710
- Loput 10 bittiä kuuluvat mantissaan ja niiden muuntaminen 10-järjestelmään tapahtuu helposti
00011110002 = 1 × 2-4 + 1 × 2-5 + 1 × 2-6 + 1 × 2-7 = 0,0625 + 0,03125 + 0,015625 + 0,0078125 = 0,1171875
- Lopuksi saamme siis liukuluvuksi: (-1)0 × 222-15 × 1.1171875
= 14310Lyhyesti liukuvan pilkun luvun laskutoimituksista (esitetään yleissivistyksen vuoksi)
Yhteen- ja vähennyslasku
- luvuista pienempi muutetaan normaalimuodosta muotoon, jossa lukujen eksponentit ovat samat
- mantissoilla tehdään tarvittava laskutoimitus
- eksponentiksi tulee yhteinen eksponentti
- lopuksi normalisoidaan, mikäli se on tarpeen
Kerto- ja jakolasku
- mantissoilla tehdään tarvittava laskutoimitus
- kertolaskussa eksponentit lasketaan yhteen ja summasta vähennetään siirre
- jakolaskussa jaettavan eksponentista vähennetään jakajan eksponentti ja erotukseen lisätään siirre
- lopuksi normalisoidaan, mikäli se on tarpeen
Liukuvan pilkun lukuja käsittelee ANSI/IEEE:n standardi 754-1985. Standardi on laaja ja yksityiskohtainen ja se määritelee esitystavat ja laskutoimitukset. Standardi on laadittu mikrotietokoneita varten. Se sisältää kaksi perusesitystapaa:
- yksinkertainen esitystarkkuus (single precision): 32 bittiä
- kaksinkertainen esitystarkkuus (double precision): 64 bittiä
Paluu päävalikkoon
Tämän sivun sisällöstä vastaa aura@wooster.hut.fi
URL: http://signal.hut.fi/digis/printtaa/luento2/luento2.html
Sivua on viimeksi päivitetty 18.10.2004.