Tietokone on laajasti käytetty apuväline yhteiskunnan eri aloilla. Sen vahvuus on monikäyttöisyys. (Samalla fyysisellä laitteella pystytään suorittamaan eri tyyppisiä tehtäviä, laitetta voidaan myös jatkuvasti päivittämään.) Toisaalta suuri osa tietokoneista on erikoistunut suorittamaan tietyn tyyppisiä tehtäviä. Tietokone on siis digitaalilaite. Sen toiminnan pääpiirteet (huomattavan yksinkertaistetusti) esitetään alla:

Tietokoneen ydin on integroitu piirielementti, jota kutsutaan prosessoriksi. Nykyään prosessorit ovat erittäin monimutkaisia ja sisältävät miljoonia transistoreita. Prosessori suorittaa kaikki koneen toiminnot, jotka ovat kaikki käytännössä erilaisia laskuja, hyppyjä tai muistihakuja. Sen toiminnan määräävät ohjelmat. Prosessori jakaantuu neljään toiminnalliseen yksikköön:

• CPU, Central Processing Unit
  - sisältää ohjaimen (Control Unit) ja suorittimen (Datapath). Ohjain hakee muistista käskyjä peräjälkeen ja ohjaa suorittimen toimintaa niiden mukaisesti.
• FPU: Floating-Point Unit
  - toimii samantyyppisesti kuin CPU, mutta on erikoistunut ns. liukulukujen laskutoimituksiin
• MMU: Memory Management Unit
  - ohjaa muistin toimintaa
• Internal Cache (suomennos olisi suunnilleen sisäinen lähimuisti)
  - Nopeimmin haettava muistiaines sijaitsee täällä. MMU:n ohjaama Internal Cache sisältää aktiivisimmin tarvittavaa muistiainesta.
  (Tulevaisuuden multimediatietokoneissa tämä hierarkinen muistirakenne ei tule toimimaan. Yksi mahdollisuus on silloin liittää suuri määrä nopeaa DRAM -muistia suoraan prosessorin yhteyteen.)

Prosessorin lisäksi tietokone sisältää lisää muistia, joka voidaan jakaa kahteen luokkaan:

• ROM, Read Only Memory (suomeksi kiintomuisti): Tämän muistin muistiaines on pysyvää. Muistista voi lukea, mutta sinne ei voi kirjoittaa. Käytetään laitteen ohjelman säilytykseen, voi sisältää joitakin vakioarvoja.
• RAM, Random Access Memory (suomeksi vaihtomuisti): Muistista voi lukea ja sinne voi myös kirjoittaa. Tänne talletetaan ohjelman väli- ja lopputuloksia sekä erilaista tarvittavaa dataa. RAM-muisti voi olla joko staattista (SRAM) tai dynaamista (DRAM). RAM-muisti tyhjenee kun tietokoneesta katkaistaan virta. Lisäksi DRAM vaatii jatkuvaa uudelleen virkistystä, eli muistin sisältö täytyy määräajoin kirjoittaa uudelleen.

Kaikki muut tietokoneen yksiköt (prosessorin ja muistin lisäksi) voidaan laskea syöttö- tai tulostuslaitteistoon. (I/O Devices, Input/Output). Näitä ovat esim. näyttö, näppäimistö, hiiri, erilaiset lisäkortit, tulostin jne.. Kiintolevy voidaan luokitella sekä I/O-välineeksi että osaksi muistia. Syöttö- ja tulostuslaitteisto on kommunikointirajapinta ulkomaailman kanssa.

(Kansankielellä sanotaan, että kone ottaa tietoja syöttölaitteen välityksellä ja antaa palautteen tulostuslaitteen kautta. Yleisesti digitaalilaitteessa yhteys ulkomaailmaan hoidetaan otto- ja antopiirien kautta.)

Tietokoneen eri osia yhdistää väylä (Bus). Väylää pitkin siirretään tiedot yksiköltä toiselle.

Tässä on yksi vaihtoehto, jolla tietokonetta voidaan kuvata. Kannattaa muistaa, että kuva ei ole missään suhteessa kattava tai edes ylimalkainen. Lähinnä pyrimme esittelemään yhden hyvin yksinkertaisen mahdollisuuden jakaa kone toiminnallisiin kokonaisuuksiin. (Lukija voi halutessaan piirrellä kotonaan yksityiskohtaisemman kaaviokuvan.)

Lisää tietokoneen rakenteesta ja toimintamalleista kerrotaan tietotekniikan osaston kurssilla Tietokoneen arkkitehtuuri.

Nykyinen kymmenjärjestelmämme on perua hedelmällisen puolikuun alueelta ja se on syntynyt jonkin verran ennen ajanlaskumme alkua. Kymmenjärjestelmä perustuu nimensä mukaisesti luvun kymmenen eri potensseihin. Käytetyt numeroarvot ovat 0,1,2,3,4,5,6,7, 8, 9.

Kymmenjärjestelmä voidaan tulkita muodossa:


, missä a_i on jokin kerroin välitä [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

Esimerkiksi luku 3025 tarkoittaa oikeastaan lauseketta 3 × 10³ + 0 × 10² + 2 × 10¹ + 5 × 10⁰.

Toisena esimerkkinä luku 1978, joka tarkoittaa samaa kuin lauseke 1 × 10³ + 9 × 10² + 7 × 10¹ + 8 × 10⁰.

Eli ensin tuhannet, sitten sadat, kymmenet ja lopuksi ykköset.

Edellä kuvatun ymmärtäminen on tärkeää, jotta voidaan laskea yhteyksiä lukujärjestelmistä toisiin. 10 (eli desimaali) -järjestelmä ei ole läheskään ainoa mahdollinen. Muita paljon käytettyjä ovat erityisesti digitaalilogiikassa käytetty 2-kantajärjestelmä (binääri), 8-kantajärjestelmä (oktaali) ja 16-kantajärjestelmä (heksadesimaali).

Alla olevasta taulukosta nähdään eri lukujärjestelmien vastaavuuksia:

Heksadesimaali	Desimaali	Oktaali	Binääri
0	0	0	0
1	1	1	1
2	2	2	10
3	3	3	11
4	4	4	100
5	5	5	101
6	6	6	110
7	7	7	111
8	8	10	1000
9	9	11	1001
A	10	12	1010
B	11	13	1011
C	12	14	1100
D	13	15	1101
E	14	16	1110
F	15	17	1111

Taulukosta nähdään, että numeroita minimoidakseen kannattaa käyttää mahdollisimman suurikantaista järjestelmää: siinä missä heksadesimaalijärjestelmässä selvitään yhdellä numerolla joudutaan binäärijärjestelmässä pahimmillaan käyttämään neljää numeroa ilmaisemaan samaa lukua. Binäärijärjestelmän laskutoimitukset ovat kuitenkin niin yksinkertaisia, että se on monissa tilanteissa kannattavin vaihtoehto.

Ihmiselle luontevin näyttää olevan desimaalijärjestelmä. Laitteissa taas tarkoituksesta riippuen yleensä kannattaa käyttää jotain muuta järjestelmää. (Lähes aina binäärijärjestelmää tai sen monikertaa oktaali- tai heksadesimaalijärjestelmää.) Silloin tulostus- ja syöttölaitteita varten tarvitaan muunnoksia lukujärjestelmästä toiseen.

Hyvän digitaalisuunnittelijan tulisi osata perusteellisesti binääri-, oktaali- ja heksadesimaalijärjestelmien väliset suhteet. Samoin tulisi osata nopeasti ratkaista, mitä tietty kymmenjärjestelmän luku on näissä kolmessa järjestelmässä. Lukujärjestelmämuunnoksia esitellään tarkemmin seuraavilla sivuilla.

Lukujärjestelmästä toiseen siirtyminen vaatii laskemista. Jos otetaan perusjärjestelmäksi tuttu desimaalijärjestelmä, muista siihen siirtyminen on helppoa. Lausekemuotoinen määrittely mille tahansa järjestelmälle suhteessa kymmenjärjestelmään voitaisiin ilmaista vaikka seuraavasti:

Luku = Summa_i ( kerroin_i × kantaluku_i )
Kun siirrytään jostain muusta järjestelmästä kymmenjärjestelmään, voidaan soveltaa kaavaa suoraan.

Esim. luku (2634)₇ (eli luku 2634 7-kantajärjestelmässä) voidaan laskea suoraan auki seuraavasti:
(2634)₇ = 2 × 7³ + 6 × 7² + 3 × 7¹ + 4 × 7⁰ = 686 + 294 + 21 + 4 = (1005)₁₀

Tässä kantaluku on tietystikin 7, sillä muunnettavaluku on 7-kantajärjestelmässä.
Kaavassa potenssit tulevat sen mukaan millä kohtaa kyseinen numero on alkuperäisessä luvussa (2634)₇ eli tuhannet saavat potenssiluvun 3, sadat saavat potenssiluvun 2 jne.

Kun halutaan siirtää luku (n) toiseen suuntaan, etsitään suurinta halutun kantaluvun (k) potenssia (i), joka 'mahtuu' siirrettävään lukuun. (Eli n ÷ kⁱ yhtäsuuri tai suurempi kuin 1) Kun suurin mahdollinen potenssi löydetään, suoritetaan jakolasku N ÷ kⁱ ja siirrytään tarkastelemaan mahdollista jakojäännöstä.

Eli:

1. Etsitään uuden kantaluvun (k) suurin potenssi (i), joka mahtuu 10-järjestelmän lukuun.
2. Lasketaan, montako kertaa kyseinen potenssi mahtuu alkuperäiseen lukuun, kerroin on uuden luvun eniten merkitsevä numero.
3. Lasketaan jakojäännös yhtälöstä vanhaluku - (kerroin × kantaluku^potenssi) ja tarkastellaan sitä.
4. Etsitään uuden kantaluvun potenssi, joka mahtuu jakojäännökseen.
5. Lasketaan, montako kertaa tämä potenssi mahtuu jakojäännökseen, saatava kerroin on uuden luvun seuraavaksi eniten merkitsevä numero.
6. Lasketaan jälleen uusi osamäärä, tarkastellaan sitä jne.. kunnes koko luku on käyty läpi.
7. Uusi luku muodostuu kertoimista.

Muunnetaan luku (3718)₁₀ 7-kantajärjestelmään.

1. Etsitään iteroimalla/kokeilemalla 7:n (haluttu kantaluku) suurin potenssi, joka mahtuu kyseiseen vanhaan 10-järjestelmän lukuun:
   
   7⁴ = 2401 < 3718 < 7⁵ = 16807
   
   
2. 7⁴ mahtuu lukuun 3718 yhden kerran (3718 ÷ 7⁴ = 1,548521), joten uuden luvun eniten merkitseväksi kertoimeksi tulee 1
   
   
3. Tarkastellaan jakolaskun jäännöstä ( = 3718 - 1 × 7⁴ = 1317):
   
   
4. 7³ = 343 < 1317 < 7⁴ = 2401
   
   
5. 7³ mahtuu jakojäännökseen 3 kertaa (1317 ÷ 7³ = 3,83965) joten uuden luvun toiseksi suurimmaksi kertoimeksi tulee 3
   
   
6. lasketaan seuraava jakojäännös: 1317 - 3 × 7³ = 288
   
   7² = 49 < 288 < 7³ = 343
   
   7² mahtuu 288:n 5 kertaa (288 ÷ 7² = 5,87755), joten uuden luvun seuraavaksi kertoimeksi tulee 5
   
   lasketaan seuraava jakojäännös: 288 - 5 × 7² = 43
   
   7¹ = 7 < 43 < 7² = 49
   
   7¹ mahtuu 43:een 6 kertaa (43 ÷ 7¹ = 6,142857), joten uuden luvun seuraavaksi kertoimeksi tulee 6
   
   lasketaan seuraava jakojäännös: 43 - 6 × 7¹ = 1
   
   osamääräksi jää 1, joka on suoraan uuden luvun viimeinen numero
   
   
7. uusi luku on siis (13561)₇

Esimerkki 2.

Muunnetaan luku (1241)₁₀ 5-kantajärjestelmään.

1. Etsitään iteroimalla/kokeilemalla 5:n (haluttu kantaluku) suurin potenssi, joka mahtuu kyseiseen vanhaan 10-järjestelmän lukuun:
   
   5⁴ = 625 < 1241 < 5⁵ = 3125
   
   
2. 5⁴ mahtuu lukuun 1241 yhden kerran (1241 ÷ 5⁴ = 1,9856), joten uuden luvun eniten merkitseväksi kertoimeksi tulee 1
   
   
3. Tarkastellaan jakolaskun jäännöstä ( = 1241 - 1 × 5⁴ = 616):
   
   
4. 5³ = 125 < 616 < 5⁴ = 625
   
   
5. 5³ mahtuu jakojäännökseen 4 kertaa (616 ÷ 5³ = 4,928) joten uuden luvun toiseksi suurimmaksi kertoimeksi tulee 4
   
   
6. lasketaan seuraava jakojäännös: 616 - 4 × 5³ = 116
   
   5² = 25 < 116 < 5³ = 125
   
   5² mahtuu 116:n 4 kertaa (116 ÷ 5² = 4,64), joten uuden luvun seuraavaksi kertoimeksi tulee 4
   
   lasketaan seuraava jakojäännös: 116 - 4 × 5² = 16
   
   5¹ = 5 < 16 < 5² = 25
   
   5¹ mahtuu 16:een 3 kertaa (16 ÷ 5¹ = 3,2), joten uuden luvun seuraavaksi kertoimeksi tulee 3
   
   lasketaan seuraava jakojäännös: 16 - 3 × 5¹ = 1
   
   osamääräksi jää 1, joka on suoraan uuden luvun viimeinen numero
   
   
7. uusi luku on siis (14431)₅

Huom: Ylläolevat periaatteet soveltuvat etumerkki-itseisarvomuotoisten (=jo peruskoulussa opittu 'tavallinen' tapa esittää positiivisia ja negatiivisia lukuja) kokonaislukujen muuntamiseen järjestelmästä toiseen. Oma lukunsa on desimaalilukujen tai komplementoitujen (toinen tapa esittää etumerkillisiä lukuja) lukujen muuntaminen.

Digitaalilogiikassa yleisimmin käytetään binääri- eli kaksikantajärjestelmää. Järjestelmän pienin erillinen yksikkö on bitti. Bitillä voi olla kaksi arvoa, 1 tai 0. Binäärilukujen vahvuuksia ovat laskutoimitusten yksinkertaisuudet ja lukujen fysikaalisen esittämisen helppous. (On vain kaksi numeroa.) Heikkouksia ovat lukujen pituudet, epähavainnollisuus ja laskutoimituksien suuri määrä. Digitaalilaitteissa binäärilukuja säilytetään rekistereissä. Luvun esittämiseen on käytössä tietty vakiomäärä tai sen monikerta bittejä. Esimerkiksi 8, 16 tai 32.

Esimerkki 2-kantajärjestelmän luvusta: 011010₂ = 1 × 2 ⁴ + 1 × 2 ³ + 1 × 2 ¹ = 26 ₁₀.
2. Esimerkki 2-kantajärjestelmän luvusta: 101001₂ = 1 × 2 ⁵ + 1 × 2 ³ + 1 × 2 ⁰ = 41 ₁₀.

Ylläolevan esimerkin lukua sanotaan kiinteän pilkun luvuksi. Kiinteän pilkun luvut ovat aina kokonaislukuja. Ne voivat olla joko positiivisia lukuja, jolloin luku tulkitaan sellaisenaan tai etumerkillisiä. Tällöin luvun eniten merkitsevä bitti on merkkibitti. Yleensä 1 tarkoittaa miinusta ja 0 plussaa.

Etumerkillisillä luvuilla on erilaisia esitystapoja:

• Etumerkki-itseisarvoesitys: esitys toimii kuten desimaaliluvuissa ollaan totuttu. Tämä esitys hankaloittaa yhteen- ja vähennyslaskua, kertolasku on yksinkertainen. Etumerkki-itseisarvoesityksessä eniten merkitsevä bitti on siis etumerkkibitti, loput bitit muodostavat varsinaisen luvun. Ensimmäistä bittiä ei oteta huomioon luvun arvoa laskettaessa, muut bitit tulkitaan normaalisti.
  
  Esimerkiksi 4-bittinen luku 1010₂. Tässä ensimmäinen bitti on merkkibitti, joka kertoo luvun olevan negatiivinen,
  koska merkkibitti on 1. Loput bitit (010) kertovat, että luvun itseisarvo on 2 (1 × 2 ¹ = 2).
  Näin 1010₂ = - (0 × 2 ² + 1 × 2 ¹ + 0 × 2 ⁰) = -2₁₀
  
  2. Esimerkki 5-bittinen luku 11001₂. Tässä ensimmäinen bitti on jälleen merkkibitti, joka kertoo luvun olevan negatiivinen,
  koska merkkibitti on 1. Loput bitit (1001) kertovat, että luvun itseisarvo on 9 (1 × 2 ³ + 1 × 2 ⁰ = 9).
  Näin 11001₂ = - (1 × 2 ³ + 0 × 2 ² + 0 × 2 ¹ + 1 × 2 ⁰) = -9₁₀
  
  
• BCD (Binary Coded Decimal) -luvut ovat 10-järjestelmän lukuja joiden jokainen numero on muutettu erikseen binääriseksi
  
  Esimerkiksi 10-järjestelmän luku 24₁₀ saadaan BCD-muotoon muuttamalla erikseen binääriseksi luvut 2 ja 4. Muuntaminen binääriseksi tapahtuu samalla tavalla kuin mihin tahansa kantaan (binääriluvuthan ovat 2-kantajärjestelmän lukuja)
  
  2₁₀ --> 10₂
  4₁₀ --> 100₂
  
  Kaikki BCD luvut esitetään lopulta neljällä bitillä, koska suurin numero joka voidaan joutua muuttamaan on 9₁₀, joka on binäärijärjestelmässä 1001 ts.
  
  24₁₀ --> 0010 0100 (BCD)
  
  2. Esimerkki 10-järjestelmän luku 165₁₀ esitettynä BCD-muodossa saadaan kun kaikki kolme numeroa muutetaan erikseen binääriseksi. 1₁₀ --> 1₂
  6₁₀ --> 110₂
  5₁₀ --> 101₂
  
  Ja kun kaikki BCD luvut esitetään lopulta neljällä bitillä saadaan
  
  165₁₀ --> 0001 0110 0101 (BCD)
  
  
• 1-komplementtimuoto (tämä on melko harvinainen, yhteen- ja vähennyslaskuoperaatiot ovat suhteellisen yksinkertaisia)
• 2- komplementtimuoto (yleisin tapa esittää lukuja digitaalilaitteissa, yhteen- ja vähennyslaskualgoritmit ovat erittäin yksinkertaisia)

Alla olevasta taulukosta binääriluvun esittäminen eri esitystavoissa:

Desimaali luku	Etumerkki -itseisarvo	1:n komplementti	2:n komplementti
+7	0111	0111	0111
+6	0110	0110	0110
+5	0101	0101	0101
+4	0100	0100	0100
+3	0011	0011	0011
+2	0010	0010	0010
+1	0001	0001	0001
+0	0000	0000	0000
-0	1000	1111	--
-1	1001	1110	1111
-2	1010	1101	1110
-3	1011	1100	1101
-4	1100	1011	1100
-5	1101	1010	1011
-6	1110	1001	1010
-7	1111	1000	1001
-8	--	--	1000

Kiinteän pilkun luvut ovat siis aina kokonaislukuja. Desimaalilukujen sekä hyvin suurten tai hyvin pienten lukujen esittämiseen käytetään liukuvan pilkun lukuja. Liukuvan pilkun luku jakaantuu kolmeen osaan: merkkibittiin, eksponenttiin ja mantissaan.

Esim seuraavasti (kyseessä on 32-bittinen liukuvan pilkun luku):

s

e

e

e

e

e

e

e

e

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

s = merkkibitti (aina 1 kpl)
e = eksponentin bitit (tässä tapauksessa 8 kpl)
f = mantissan bitit (tässä tapauksessa 23 kpl)
On siis sovittu, että kyseisessä bittijonossa ensimmäinen bitti kertoo luvun etumerkin. Siitä tietty määrä seuraavia bittejä ilmaisee luvun kantaluvun eksponentin arvon. Loput bitit tulkitaan mantissana. Liukuluvuista on olemassa muutama eri standardi. Tässä materiaalissa esitetään niistä yksi. Liukuluvun laskentakaava on esitetty alla:

Luku = (-1)^s × 2^e × 1.f

(Liukuluvuista lisää myöhemmin.)

Yleisesti missä tahansa lukujärjestelmässä (kantaluku r), on kaksi erityyppistä komplementtia: kantaluvun komplementti (radix complement) ja kantaluvun heikennetty komplementti (diminished radix complement). Näistä edellistä kutsutaan r:n (eli kantaluvun) komplementiksi ja jälkimmäistä (r -1 ):n komplementiksi. Nämä komplementit binäärijärjestelmän tapauksessa ovat siis 2:n komplementti ja 1:n komplementti, sillä binäärijärjestelmän kantalukuhan on 2.

Komplementtia tarvitaan digitaalijärjestelmissä kuvaamaan negatiivisia ja positiivisia lukuja. Komplementointi on eräänlaista lukualueen peilaamista tietyn peilauskohdan suhteen. Kyseessä on taas sopimus: on sovittu, että tiettyä rajapyykkiä itseisarvoltaan suuremmat binäärisarjat tulkitaan negatiivisina ja tätä samaa rajapyykkiä pienemmät positiivisina. Rajapyykki sijoitetaan mahdollisimman tarkasti lukualueen puoliväliin. Käytäntö on, että jos komplementtiluvun eniten merkitsevä bitti on 0, luku on positiivinen. Jos komplementtiluvun eniten merkitsevä bitti on 1, on luku negatiivinen.

Jos luku on positiivinen, se tulkitaan normaalisti sijoittamalla lausekkeeseen tarvittavat kakkosen kantaluvut, kuten on aiemminkin jo tehty.

(Esim 0101 = 1 × 2 ² + 1 × 2 ⁰ = 4 + 1 = 5).

Jos luku on negatiivinen, täytyy tehdä peilausoperaatio. Peilauksessa (riippuen komplementin tyypistä) suhteutetaan loput bittisarjan bitit ensimmäiseen lukuun.

Esimerkiksi luku 10101. Eniten merkitsevä bitti on 1, joten luvun muut bitit peilataan sen suhteen.2-komplementin tapauksessa peilaus tapahtuu näin: 10101 = -16 + 4 + 1 = -11.

(Jos komplementin idea ei heti aukea, ei kannata masentua. Normaalielämässä riittää pitkälle, jos muistaa, että komplementointi tarkoittaa lukualueen peilausta. Digitaalisuunnittelussa työkalut yleensä huolehtivat komplementoinnista. Siihen törmätään vain erityisen haastavissa tapauksissa tai ongelmatilanteissa. Tentissä tosin asiaa kysytään usein jonkin verran.)

1-komplementti

Olkoon B positiivinen kokonaisluku, jonka suuruusosan esityspituus on n bittiä. Tällöin B:n 1:n komplementti on

C1,n (B) = 2ⁿ - 1 - B

1-komplementin muuntaminen desimaalimuotoon kannattaa tehdä siten, että muunnetaan luku ensin 2-komplementtiin. Komplementtien välillä vallitsee yhteys:

C2,n(B) = C1,n(B) + 1

2-komplementti

Olkoon B positiivinen kokonaisluku, jonka suuruusosan esityspituus on n bittiä. Tällöin B:n 2:n komplementti on

C2,n(B) = 2ⁿ - B

Käytännössä helppona nyrkkisääntönä voidaan muistaa seuraavaa: Jos luku on positiivinen, se tulkitaan normaalisti. Tällöin muunnos 10-järjestelmään tapahtuu aivan samalla tavalla kuin on aiemmin esitetty.

Jos luku on negatiivinen, tulkitaan luvun eniten merkitsevä bitti (merkkibitti) aivan kuin se olisi tavallinen kerroin, mutta negatiivisena. Tämän jälkeen tulkitaan muut kertoimet positiivisina.

Esimerkki 1

Luku 100110₂ (luku on siis 2-komplementtimuodossa, merkkibitti on 1 eli luku on negatiivinen) tulkitaan seuraavasti:

100110₂ = -1 × 2⁵ + 1 × 2² + 1 × 2¹ = -32₁₀ + 4₁₀ + 2₁₀ = -26₁₀

Esimerkki 2

Luku 101101₂ (luku on siis 2-komplementtimuodossa, merkkibitti on 1 eli luku on negatiivinen) tulkitaan seuraavasti:

101101₂ = -1 × 2⁵ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2⁰ = -32₁₀ + 8₁₀ + 4₁₀ + 1₁₀= -19₁₀

Esimerkki 3

Luku 011001₂ (luku on siis 2-komplementtimuodossa, merkkibitti on 0 eli luku on positiivinen) tulkitaan seuraavasti:

011001₂ = 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2⁰ = 16₁₀ + 8₁₀ + 1₁₀ = 25₁₀

Binääriluvun komplementin muodostaminen
1-komplementti on helppo muodostaa:

Kaavaa ( C1,n (B) = 2ⁿ - 1 - B ) tulkittaessa huomataan, että 1-komplementin luvusta saa suoraan kääntämällä kaikki bitit nurin (eli ykkösestä tulee nolla, nollasta ykkönen). Jos luku on lyhyempi kuin käytetty bittien määrä, lisätään alkuun lisää nollia ja käännetään ne muunnoksessa ykkösiksi. Eli esim. jos on valittu 4 bittinen esitys tapa ja käsiteltävä luku on 5₁₀ = 101₂. Nyt pitää lisätä yksi nolla luvun alkuun jolloin luvuksi tulee 0101₂

HUOM ! Mikäli luku on aluksi itseisarvo-etumerkki muodossa, jätetään etumerkki rauhaan. Siis etumerkkiä ei käännetä edellisen ohjeen mukaisesti vaan se pysyy samana.

Esimerkki 1
Suuruusosan esityspituus 7 bittiä, luku B=11001 (=25₁₀)

• Lisätään tarvittavat nollat: B=0011001
• Käännetään bitit: C1,7(B) = 1100110, mikä on haluttu tulos

Tuloksen voi tarkistaa muuntamalla sen edelleen 2-komplementiksi ja sitä kautta kymmenjärjestelmään:

2-komplementiksi eli lisätään 1: C2,7(B)=1100111=
Muuntaminen 2-komplementista 10-järjestelmään tehdään kuten on esitetty edellä:

C2,7(B)=1100111= -2⁶ + 2⁵ + 2² + 2¹ + 2⁰ = -25₁₀

Esimerkki 2
0110011 Suuruusosan esityspituus 7 bittiä, luku B=1001101 (=77₁₀)

• Nyt ei tarvitse lisätä numeroita luvun eteen, sillä sen pituus on jo 7 bittiä.
• Käännetään bitit: C1,7(B) = 0110010, mikä on haluttu tulos

Tuloksen voi tarkistaa muuntamalla sen edelleen 2-komplementiksi ja sitä kautta kymmenjärjestelmään:

2-komplementiksi eli lisätään 1: C2,7(B)=0110011.

HUOM ! Tämä vaikuttaisi olevan positiivinen luku, mutta sehän ei voi olla sitä, koska
edellä suoritimme komplementtia muodostaessamme peilauksen. Tämän takia tulee nyt lisätä yksi ykkönen koko luvun eteen, jotta tulos olis negatiivinen kuten pitääkin.

C2,7(B)=10110011= -2⁷ + 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰= -77₁₀

Esimerkki 3
Suuruusosan esityspituus 7 bittiä, luku (itseisarvo-etumerkki muodossa) B=10011010 (=-26₁₀). Ensimmäinen bitti kertoo etumerkin (1 = -)ja sitten tulee luvun suuruusosa (7 bittiä).

• Nyt ei kosketa lainkaan etumerkkiin. Lisäksi huomataan, että suuruusosa on jo 7 bittiä pitkä, joten ei tarvetta toimenpiteisiin.
• Käännetään bitit: C1,7(B) = 11100101, mikä on haluttu tulos

Tuloksen voi tarkistaa muuntamalla sen edelleen 2-komplementiksi ja sitä kautta kymmenjärjestelmään:

2-komplementiksi eli lisätään 1: C2,7(B)=11100110= -2⁷ + 2⁶ + + 2⁵ + 2² + 2¹ = -26₁₀

Esimerkki 4
Suuruusosan esityspituus 7 bittiä, luku (itseisarvo-etumerkki muotoinen) B=11001 (=-9₁₀). Ensimmäinen bitti kertoo etumerkin ( 1 = -)ja sitten tulee luvun suuruusosa (4 bittiä).

• Nyt ei taaskaan kosketa lainkaan etumerkkiin. Huomataan kuitenkin, että suuruusosa on vain 4 bittiä pitkä, joten siihen lisätään nollia. Näin saadaan:
  B=10001001, missä lisätyt nollat on lihavoitu.
• Lopuksi käännetään bitit: C1,7(B) = 11110110, mikä on haluttu tulos

Tuloksen voi tarkistaa muuntamalla sen edelleen 2-komplementiksi ja sitä kautta kymmenjärjestelmään:

2-komplementiksi eli lisätään 1: C2,7(B)=11110111= -2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ + 2² + 2¹ + 2⁰ = -9₁₀

Esimerkki 5
Suuruusosan esityspituus 7 bittiä, luku (itseisarvo-etumerkki muotoinen) B=01100 (=12₁₀). Ensimmäinen bitti kertoo etumerkin (0 = +)ja sitten tulee luvun suuruusosa (4 bittiä).

• Nyt ei taaskaan kosketa lainkaan etumerkkiin. Huomataan kuitenkin, että suuruusosa on vain 4 bittiä pitkä, joten siihen lisätään nollia. Näin saadaan:
  B=00001100, missä lisätyt nollat on lihavoitu.
• Lopuksi käännetään bitit: C1,7(B) = 00001100, mikä on haluttu tulos
  
  HUOM! Tässä oli siis positiivisen luvun muuntaminen 1-komplementtiin. Tarkkasilmäisimmät voivat huomata, että luku ei muuttunut lainkaan (mitä nyt nollia tuli lisää..) Jos tämä tuntuu hämärältä ks. selitystä aiemmin komplementin johdannon kohdalta.

Tuloksen voi tarkistaa muuntamalla sen edelleen 2-komplementiksi ja sitä kautta kymmenjärjestelmään:

Muuntaminen 2-komplementiksi on helppoa positiivisen luvun tapauksessa. Ei tehdä mitään muutoksia eli: C2,7(B)=00001100= 2³ + 2² = 12₁₀

2-komplementti muodostetaan joko 1-komplementin kautta lisäämällä siihen 1 (kuten edellisen esimerkin tarkistusosassa) tai suoraan seuraavalla algoritmillä:

• aloitetaan vähiten merkitsevästä bitistä
• jos bitti on 0 sitä ei muuteta, vaan siirrytään seuraavaan
• ensimmäinen vastaantuleva 1-bitti säilytetään ennallaan
• loput bitit käännetään (kaikki)

Esimerkki
Suuruusosan esityspituus 7 bittiä, luku B=10100= 0010100 ( = 10 ₁₀ ) C2,7(B)=1101100 ( = -10 ₁₀ )

C2,n(C2,n(B))= 2ⁿ - (2ⁿ - B) = B
C1,n(C1,n(B))= 2ⁿ - 1 - (2ⁿ - 1 - B) = B
Komplementoimalla komplementti saadaan siis alkuperäinen luku uudelleen.

Pari esimerkkimuunnosta

	Etumerkki-itseisarvoinen luku	1:n komplementti	2:n komplementti
A	01100011	01100011	01100011
B	10110010	11001101	11001110

Positiiviset luvut ovat siis joka muodossa samanlaisia. Negatiivisissa suuruusosasta tehdään komplementti. Etumerkki (jos sellainen on) jätetään komplementoitaessa rauhaan.

Muiden lukujärjestelmien komplementeista