Yleisesti missä tahansa lukujärjestelmässä (kantaluku r), on kaksi erityyppistä komplementtia: kantaluvun komplementti (radix complement) ja kantaluvun heikennetty komplementti (diminished radix complement). Näistä edellistä kutsutaan r:n (eli kantaluvun) komplementiksi ja jälkimmäistä (r -1 ):n komplementiksi. Nämä komplementit binäärijärjestelmän tapauksessa ovat siis 2:n komplementti ja 1:n komplementti, sillä binäärijärjestelmän kantalukuhan on 2.

Komplementtia tarvitaan digitaalijärjestelmissä kuvaamaan negatiivisia ja positiivisia lukuja. Komplementointi on eräänlaista lukualueen peilaamista tietyn peilauskohdan suhteen. Kyseessä on taas sopimus: on sovittu, että tiettyä rajapyykkiä itseisarvoltaan suuremmat binäärisarjat tulkitaan negatiivisina ja tätä samaa rajapyykkiä pienemmät positiivisina. Rajapyykki sijoitetaan mahdollisimman tarkasti lukualueen puoliväliin. Käytäntö on, että jos komplementtiluvun eniten merkitsevä bitti on 0, luku on positiivinen. Jos komplementtiluvun eniten merkitsevä bitti on 1, on luku negatiivinen.

Jos luku on positiivinen, se tulkitaan normaalisti sijoittamalla lausekkeeseen tarvittavat kakkosen kantaluvut, kuten on aiemminkin jo tehty.

(Esim 0101 = 1 × 2 ² + 1 × 2 ⁰ = 4 + 1 = 5).

Jos luku on negatiivinen, täytyy tehdä peilausoperaatio. Peilauksessa (riippuen komplementin tyypistä) suhteutetaan loput bittisarjan bitit ensimmäiseen lukuun.

Esimerkiksi luku 10101. Eniten merkitsevä bitti on 1, joten luvun muut bitit peilataan sen suhteen. 2-komplementin tapauksessa peilaus tapahtuu näin: 10101 = -16 + 4 + 1 = -11.

(Jos komplementin idea ei heti aukea, ei kannata masentua. Normaalielämässä riittää pitkälle, jos muistaa, että komplementointi tarkoittaa lukualueen peilausta. Digitaalisuunnittelussa työkalut yleensä huolehtivat komplementoinnista. Siihen törmätään vain erityisen haastavissa tapauksissa tai ongelmatilanteissa. Tentissä tosin asiaa kysytään usein jonkin verran.)

1-komplementti

Olkoon B positiivinen kokonaisluku, jonka suuruusosan esityspituus on n bittiä. Tällöin B:n 1:n komplementti on

C1,n (B) = 2ⁿ - 1 - B

1-komplementin muuntaminen desimaalimuotoon kannattaa tehdä siten, että muunnetaan luku ensin 2-komplementtiin. Komplementtien välillä vallitsee yhteys:

C2,n(B) = C1,n(B) + 1

2-komplementti

Olkoon B positiivinen kokonaisluku, jonka suuruusosan esityspituus on n bittiä. Tällöin B:n 2:n komplementti on

C2,n(B) = 2ⁿ - B

Käytännössä helppona nyrkkisääntönä voidaan muistaa seuraavaa: Jos luku on positiivinen, se tulkitaan normaalisti. Tällöin muunnos 10-järjestelmään tapahtuu aivan samalla tavalla kuin on aiemmin esitetty.

Jos luku on negatiivinen, tulkitaan luvun eniten merkitsevä bitti (merkkibitti) aivan kuin se olisi tavallinen kerroin, mutta negatiivisena. Tämän jälkeen tulkitaan muut kertoimet positiivisina.

Esimerkki 1

Luku 100110₂ (luku on siis 2-komplementtimuodossa, merkkibitti on 1 eli luku on negatiivinen) tulkitaan seuraavasti:

100110₂ = -1 × 2⁵ + 1 × 2² + 1 × 2¹ = -32₁₀ + 4₁₀ + 2₁₀ = -26₁₀

Esimerkki 2

Luku 101101₂ (luku on siis 2-komplementtimuodossa, merkkibitti on 1 eli luku on negatiivinen) tulkitaan seuraavasti:

101101₂ = -1 × 2⁵ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2⁰ = -32₁₀ + 8₁₀ + 4₁₀ + 1₁₀= -19₁₀

Esimerkki 3

Luku 011001₂ (luku on siis 2-komplementtimuodossa, merkkibitti on 0 eli luku on positiivinen) tulkitaan seuraavasti:

011001₂ = 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2⁰ = 16₁₀ + 8₁₀ + 1₁₀ = 25₁₀

Binääriluvun komplementin muodostaminen
1-komplementti on helppo muodostaa:

Kaavaa ( C1,n (B) = 2ⁿ - 1 - B ) tulkittaessa huomataan, että 1-komplementin luvusta saa suoraan kääntämällä kaikki bitit nurin (eli ykkösestä tulee nolla, nollasta ykkönen). Jos luku on lyhyempi kuin käytetty bittien määrä, lisätään alkuun lisää nollia ja käännetään ne muunnoksessa ykkösiksi. Eli esim. jos on valittu 4 bittinen esitys tapa ja käsiteltävä luku on 5₁₀ = 101₂. Nyt pitää lisätä yksi nolla luvun alkuun jolloin luvuksi tulee 0101₂

HUOM ! Mikäli luku on aluksi itseisarvo-etumerkki muodossa, jätetään etumerkki rauhaan. Siis etumerkkiä ei käännetä edellisen ohjeen mukaisesti vaan se pysyy samana.

Esimerkki 1
Suuruusosan esityspituus 7 bittiä, luku B=11001 (=25₁₀)

• Lisätään tarvittavat nollat: B=0011001
• Käännetään bitit: C1,7(B) = 1100110, mikä on haluttu tulos

Tuloksen voi tarkistaa muuntamalla sen edelleen 2-komplementiksi ja sitä kautta kymmenjärjestelmään:

2-komplementiksi eli lisätään 1: C2,7(B)=1100111=
Muuntaminen 2-komplementista 10-järjestelmään tehdään kuten on esitetty edellä:

C2,7(B)=1100111= -2⁶ + 2⁵ + 2² + 2¹ + 2⁰ = -25₁₀

Esimerkki 2
0110011 Suuruusosan esityspituus 7 bittiä, luku B=1001101 (=77₁₀)

• Nyt ei tarvitse lisätä numeroita luvun eteen, sillä sen pituus on jo 7 bittiä.
• Käännetään bitit: C1,7(B) = 0110010, mikä on haluttu tulos

Tuloksen voi tarkistaa muuntamalla sen edelleen 2-komplementiksi ja sitä kautta kymmenjärjestelmään:

2-komplementiksi eli lisätään 1: C2,7(B)=0110011.

HUOM ! Tämä vaikuttaisi olevan positiivinen luku, mutta sehän ei voi olla sitä, koska
edellä suoritimme komplementtia muodostaessamme peilauksen. Tämän takia tulee nyt lisätä yksi ykkönen koko luvun eteen, jotta tulos olis negatiivinen kuten pitääkin.

C2,7(B)=10110011= -2⁷ + 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰= -77₁₀

Esimerkki 3
Suuruusosan esityspituus 7 bittiä, luku (itseisarvo-etumerkki muodossa) B=10011010 (=-26₁₀). Ensimmäinen bitti kertoo etumerkin (1 = -)ja sitten tulee luvun suuruusosa (7 bittiä).

• Nyt ei kosketa lainkaan etumerkkiin. Lisäksi huomataan, että suuruusosa on jo 7 bittiä pitkä, joten ei tarvetta toimenpiteisiin.
• Käännetään bitit: C1,7(B) = 11100101, mikä on haluttu tulos

Tuloksen voi tarkistaa muuntamalla sen edelleen 2-komplementiksi ja sitä kautta kymmenjärjestelmään:

2-komplementiksi eli lisätään 1: C2,7(B)=11100110= -2⁷ + 2⁶ + + 2⁵ + 2² + 2¹ = -26₁₀

Esimerkki 4
Suuruusosan esityspituus 7 bittiä, luku (itseisarvo-etumerkki muotoinen) B=11001 (=-9₁₀). Ensimmäinen bitti kertoo etumerkin ( 1 = -)ja sitten tulee luvun suuruusosa (4 bittiä).

• Nyt ei taaskaan kosketa lainkaan etumerkkiin. Huomataan kuitenkin, että suuruusosa on vain 4 bittiä pitkä, joten siihen lisätään nollia. Näin saadaan:
  B=10001001, missä lisätyt nollat on lihavoitu.
• Lopuksi käännetään bitit: C1,7(B) = 11110110, mikä on haluttu tulos

Tuloksen voi tarkistaa muuntamalla sen edelleen 2-komplementiksi ja sitä kautta kymmenjärjestelmään:

2-komplementiksi eli lisätään 1: C2,7(B)=11110111= -2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ + 2² + 2¹ + 2⁰ = -9₁₀

Esimerkki 5
Suuruusosan esityspituus 7 bittiä, luku (itseisarvo-etumerkki muotoinen) B=01100 (=12₁₀). Ensimmäinen bitti kertoo etumerkin (0 = +)ja sitten tulee luvun suuruusosa (4 bittiä).

• Nyt ei taaskaan kosketa lainkaan etumerkkiin. Huomataan kuitenkin, että suuruusosa on vain 4 bittiä pitkä, joten siihen lisätään nollia. Näin saadaan:
  B=00001100, missä lisätyt nollat on lihavoitu.
• Lopuksi käännetään bitit: C1,7(B) = 00001100, mikä on haluttu tulos
  
  HUOM! Tässä oli siis positiivisen luvun muuntaminen 1-komplementtiin. Tarkkasilmäisimmät voivat huomata, että luku ei muuttunut lainkaan (mitä nyt nollia tuli lisää..) Jos tämä tuntuu hämärältä ks. selitystä aiemmin komplementin johdannon kohdalta.

Tuloksen voi tarkistaa muuntamalla sen edelleen 2-komplementiksi ja sitä kautta kymmenjärjestelmään:

Muuntaminen 2-komplementiksi on helppoa positiivisen luvun tapauksessa. Ei tehdä mitään muutoksia eli: C2,7(B)=00001100= 2³ + 2² = 12₁₀

2-komplementti muodostetaan joko 1-komplementin kautta lisäämällä siihen 1 (kuten edellisen esimerkin tarkistusosassa) tai suoraan seuraavalla algoritmillä:

• aloitetaan vähiten merkitsevästä bitistä
• jos bitti on 0 sitä ei muuteta, vaan siirrytään seuraavaan
• ensimmäinen vastaantuleva 1-bitti säilytetään ennallaan
• loput bitit käännetään (kaikki)

Esimerkki
Suuruusosan esityspituus 7 bittiä, luku B=10100= 0010100 ( = 10 ₁₀ ) C2,7(B)=1101100 ( = -10 ₁₀ )

Komplementin komplementti ja muunnosesimerkkejä

Komplementti voidaan ottaa myös muissa lukujärjestelmissä kuin binäärijärjestelmässä. Tässä on esitetty esimerkinomaisesti miten tapahtuu r-kantaisen komplementin ottaminen. r-kantaisesta luvusta voidaan ottaa r-kantainen komplementti (radix complement) tai vähennetty r-kantainen komplementti (diminished radix complement, r-1))

r-kantaisen luvun N (joka on esitetty n:llä numerolla) r-kantainen komplementti lasketaan kaavalla K_r=rⁿ-N.

Vastaavasti samaisen r-kantaisen luvun N , r-1 komplementti lasketaan kaavalla K_r-1=(rⁿ-1)-N.
Tämä on helppo laskea, sillä se saadaan suoraan vähentämällä jokainen luvun N numero (n) numerosta (r-1). Esimerkkinä on alla muunnettu muutamia lukuja niiden komplementeikseen.

Esimerkki 1
Luku +37₈ (=31₁₀) on itseisarvo-etumerkki muodossa.

• Muistetaan, että komplementoitaessa positiivista lukua ei luvulle tapahdu mitään. Näin ollen:
  
  +37₈ komplementoituna on 37₈
  
  

Tuloksen voi tarkistaa muuntamalla sen takaisin 10-järjestelmään:

37₈ = 3 × 8¹ + 7 × 8⁰ = 24 + 7 = 31₁₀

Esimerkki 2
Selitys 1
Luku -21₄ (=-9₁₀) on itseisarvo-etumerkki muodossa.

• Negatiivisen luvun komplementoinnissa on syytä olla tarkkana !
  
• Luku -21₄ on 4-kantainen --> r=4.
• Luvussa -21₄ on kaksi numeroa --> n=2.
  
  
• Muodostetaan vähennetty (r-1) komplementti, koska se on helpompi. --> Vähennetään kahdesta numerosta (n), jotka ovat suurudeltaan (r-1), luku N
  Siis r-1 = 3, n=2 ja N=-21₄ --> Tästä saadaan (r-1):n komplementiksi 33₄-21₄=12₄. Tämä osoittaisi luvun olevan positiivinen!! Tämän vuoksi luvun eteen lisätään numero 3
  
• r-1:n komplementti on siis 312₄
• r:n komplementti saadaan sitten (r-1):n komplementista lisäämällä lukuun 1:nen ts. 312₄+1₄=313₄

Selitys 2

• Ensinnäkin huomataan, että suurin mahdollinen luku 4-järjestelmässä kahdella numerolla esitettynä on 33₄. Tämä vastaa lukua -1₁₀ komplementoinnin takia.
  Kun luvun ensimmäinen numero on 0 tai 1 = (+) on kyseessä positiivinen luku ja kun ensimmäinen numero on 2 tai 3 = (-), on kyseessä negatiivinen luku. Näin ollen:
  
  Nyt tiedetään, että tulokseksi on tulossa negatiivinen luku ts. komplementoidun luvun ensimmäinen numero on 2 tai 3
  
  Lasketaan 33₄-21₄+1₄ = 13₄ Tämä on väärin! Ensimmäinen numero osoittaisi luvun olevan positiivinen, mitä se ei ole!!
  
  Tarvitsemme siis esitystä kolmella numerolla jolloin luku 333₄ = -1₁₀
  
  Lasketaan 333₄-21₄+1₄ = 313₄
  Tämä on haluttu vastaus.
  
  

Hieman lisäselvitystä

1. Suurin luku 4-järjestelmässä on kahdella numerolla 33 tai kolmella 333. Vastaavasti 9-järjestelmässä 88 tai 888.
   Tämä suurin luku vastaa lukua -1₁₀, mikäli ei olla itseisarvo-etumerkki-esityksessä. (Tällöinhän luvun etumerkin ilmoittaa suoraan + tai -)
2. Pienin negatiivinen luku olisi esimerkin tapauksessa 200₄ = -32₁₀
3. Se miksi laskutoimituksissa on mukana +1 johtuu siitä, että aloitamme vähennyslaskun laskemisen luvusta -1₁₀, emmekä luvusta 0₁₀
   Toisin sanoen, mikäli emme lisäisi lukua +1, olisi edellinen muunnos ollut luvusta -22₄
   
4. Luku +1 voidaan myös jättää lisäämättä, mutta silloin täytyy muistaa tietenkin vähentää vain -20₄ (Esimerkkimme tapauksessa)
   
   

Tuloksen voi tarkistaa muuntamalla sen takaisin 10-järjestelmään:

-(333₄-313₄+1₄) = -(21)₄ = -(2 × 4¹ + 1 × 4⁰) = - (8 + 1) = -9₁₀

Esimerkki 3
Muunnettava luku 1A₁₁ takaisin 10-järjestelmään.

• Luvussa ei näy etumerkkiä, joten tulkitaan se positiiviseksi luvuksi ensimmäisen numeron perusteella.(0-->5 = + ja 6-->A = -)
  
  
• Nyt muuntaminen käy helposti, koska luku on positiivinen. Muunnetaan se aivan normaalisti (Komplementtiesityksessähän positiiviset luvut säilyvät muuttumattomina)
  
  
• 1 × 11¹ + 10 × 11⁰ = (11 + 10) = 21₁₀

Hieman lisäselvitystä

1. Luku A₁₁ vastaa lukua 10₁₀. Muita kirjaimia kuin A ? ---> -Ks. taulukko aiemmin, jossa oli esitelty mm. heksadesimaaliluvut, oktaaliluvut ja desimaaliluvut. Taulukon löydät lukujärjestelmä osion alusta.

Esimerkki 4
Muunnettava 9-järjestelmän 9-komplementin luku 82₉ takaisin 10-järjestelmään.

• Luku on negatiivinen ensimmäisen numeron perusteella (0-->4 = + ja 5-->8 = -)
  
• Nyt mietitään mikä on suurin mahdollinen luku (kahdella numerolla, koska tehtävänantokin oli kahdella numerolla) 9-järjestelmässä.
• Suurin mahdollinen luku on 88₉ = -1₁₀
  
  
• Nyt tehdään laskutoimitus: 88₉ - 82₉ = 6₉
  6₉ + 1₉ = 7₉
  
  
• Lopuksi muunnetaan 7₉ 10-järjestelmään kuten on aiemmin opittu ja muistetaan vielä, että käsitellään negatiivista lukua. Tulokseksi saadaan : -7₁₀

Hieman lisäselvitystä

• Miksi laskutoimituksessa lisätään yksi "ylimääräinen" ykkönen?
  
  Tämä tehdään siksi, että jos olisi seuraavanlainen tilanne: Pitäisi muuntaa luku 88₉ takaisin
  10-järjestelmään. Tällöin muunnos 88₉-88₉ = 0₁₀. Tämä antaisi tulokseksi luvun nolla. Kuitenkin on sovittu, että 88₉ vastaa lukua -1₁₀. Tämän takia vähennetään yksi "ylimääräinen" ykkönen. Tämä tapahtuu laskemalla 0₉ + 1₉ = 1₉ , joka muunnetaan 10-järjestelmään muistaen kuitenkin, että kyse on neg.luvusta 1₉ ==> -1₁₀. Tämä on haluttu (ja oikea) lopputulos